數學家與全息藝術家
從大學開始我就知道「孟格海綿（Menger sponge）」及其相關分形，但一直沒有深入研究。直到 2022 年春天，我偶然看到 George Hart 與 Simon’s Foundation 製作的 這段影片，演示了 3D 孟格海綿的對角切面，才真正讓我對它產生興趣。
我的第一個想法是把 3D 孟格海綿切成兩半，並設計一個能互相鎖合、拆分的機制，然後進行 3D 列印。我嘗試了幾個版本，最後定案於這個鋼材列印、內嵌稀土磁鐵的設計：
在做這些設計的同時，我也想到一個更有趣的問題：既然 3D 孟格海綿有奇妙的 2D 對角切面，那麼「4D 孟格海綿」的 3D 對角切面，是否也會同樣令人驚喜呢？
直覺來看，3D 孟格海綿的「正中央對角切面」是個六邊形，並包含六角星狀的孔洞；那麼 4D 孟格海綿的「正中央 3D 對角切面」應該是一個「八面體」，或者至少是一個八邊多面體，內部帶有八角星形狀的空腔（我當時猜想切面邊數和星形頂點數大約會是兩倍於維度）。畢竟，最常見的「八面」多面體就是正八面體及其星化（stellation）版本，也就是八角星。我推測 4D 孟格海綿的 3D 切面會像正八面體那樣的多面體，上面再佈滿一些星形分形，譬如：
當時我還沒仔細定義「4D 孟格海綿」，但因為我有 3D 程式碼，就試著把它推廣到 4D。結果就生成了下圖這個形狀：
下方影片有助於理解這個 3D 結構：它看起來是一個「截角四面體（truncated tetrahedron）」，而每個六邊形面實際上對應 3D 孟格海綿的正中央切面。
這結果雖然出乎我意料，卻非常有趣。於是我開始探究背後的理論。首先要搞清楚什麼是 4D 孟格海綿：其實在 n 維空間中有 n 種不同的孟格海綿。Karl Menger 本人在他早期的論文裡 [1]提過這點，但後來並不常被人提及。當我理解這點之後才發現，確實存在一種 4D 孟格海綿能產生跟我原先直覺相符的 3D 切面，只是我當初寫的程式碼實際上算出了另一種（同樣合法，但不同型態）的 4D 海綿。改寫程式以產生全部四種 4D 孟格海綿，再選對那個對應變體之後，我最初所猜想的形狀果然就出來了。
倒是那個「截角四面體分形」才真正令我感到驚艷，因為它完全超乎我預期。花了好幾個月，我才透過推導「n 維孟格海綿與 (n-1) 維海綿之間的切面關係」弄清它的由來。更詳細的內容可參考我在 Bridges 2023 的論文， 連結在此 。
或者，可參考我投到 Bridges 2023 短片展的下列兩段影片，裡面更直觀地介紹了 4D 孟格海綿及其 3D 對角切面的奇妙之處：